Integración por sustitución trigonométrica

En ocasiones de manera directa no se pueden realizar las integrales, en otras ocasiones parece ser que pudiéramos integrar de manera inmediata debido a que a primera inspección encontramos similitud con las fórmulas que tenemos en las tablas de fórmulas. Inclusive existen algunas de las mismas fórmulas que podemos deducir mediante algunas técnicas, como la que en esta ocasión nos ocupa, veamos el siguiente ejemplo:

Deduce la siguiente formula:

Pensemos en una sustitución que podamos realizar en la integral de tal forma que nos permita una integración inmediata. Recordemos que:

Observemos que sucede si hacemos un cambio de variable que nos conduzca a el uso de esta sustitución, concretamente, sustituyamos

Integración por sustitución trigonométrica

La integración por sustitución trigonométrica sirve para integrar funciones que tienen la siguiente forma

Este método se basa en el uso de triángulos rectángulos, el teorema de Pitágoras e identidades trigonométricas.

En el caso general la integral a resolver es:

Simplifiquemos paso a paso el término de la raíz, en primer lugar sacaremos factor común, y operaremos para poder dejarlo como suma de cuadrados.

De esta forma estaremos en tres situaciones posibles:

teniendo la forma las ecuaciones conocidas: con

Estos los cambios que hay que realizar según la situación:

La integral de esta forma, se transforma en una integral trigonométrica en t , se resuelve y se deshace el cambio.

Este método, el cual es un caso especial de cambio de variable, nos permitirá integrar cierto tipo de funciones algebraicas cuyas integrales indefinidas son funciones trigonométricas,La integral de esta forma, se transforma en una integral trigonométrica en , se resuelve y se deshace el cambio.Este método, el cual es un caso especial de cambio de variable, nos permitirá integrar cierto tipo de funciones algebraicas cuyas integrales indefinidas son funciones trigonométricas,

Ejemplos