FORMULA DE INTEGRACIÓN POR PARTES

Este método se basa en la siguiente fórmula:

OBSERVACIONES IMPORTANTES:

1.-Para poder usar la fórmula, nuestra integral se deba amoldar a la forma “u, dv”.

2.-Lo primero que debemos identificar son dos cosas u y dv (no u y du como en el método de cambio de variable).

3.-En total son 4 identificaciones por encontrar: u, v, du y dv.

4.-El diferencial dv debe ser tal que sea fácil de integrar.

5.-Debemos elegir las sustituciones u, dv, v y du de modo tal que la segunda integral sea más fácil de calcular que la integral original.

Si u(x) y v(x) son dos funciones, por las reglas de derivación sabemos que d(u⋅v)=u⋅dv+v⋅du integrando u⋅v=∫u⋅dv+∫v⋅du y, por lo tanto, ∫u⋅dv=u⋅v−∫v⋅du Esta es la fórmula de integración por partes y nos servirá para calcular muchas integrales y, aunque pueda parecer difícil, es recomendable su memorización.

Para poder escoger mejor qué parte tomar como u(x) y qué parte como v(x) hay que pensar en que la integral que nos quedará luego será la integral de v(x)⋅u′(x). Es decir, el término que tomamos como derivada, luego irá integrado y el otro irá derivado. A veces no escribiremos la variable x, aunque siempre la tendremos en cuenta.

Debemos recordar que dv=v′(x)⋅dxy que du=u′(x)⋅dx. El procedimiento a seguir es el siguiente: Escoger las funciones u y dv. Calcular du y v. Usar la fórmula y encontrar el valor de la integral. Ejemplo ∫x⋅ex dx En este caso, u=xdv=ex dxdu=1⋅dxv=∫ex dx=ex por lo que: ∫x⋅ex dx=x⋅ex−∫ex dx=xex−ex+C

Al intentar realizar una integral por partes, como se puede ver, siempre se tiene que resolver otra integral.

La esencia de las integrales por partes es que esta nueva integral sea más fácil que la anterior. Aún así, pueden tenerse que hacer varios pasos de integral por partes para resolver una integral. Podemos encontrarnos con que, después de varios pasos, volvemos a tener la misma integral inicial. En tal caso, llamaremos l a la integral y resolveremos la ecuación obtenida en términos de I.

Ejemplo Integral por partes en 2 pasos. ∫x2ex dx Tomamos, en este caso u=x2dv=ex dxdu=2x⋅dxv=∫ex dx=ex por lo que: ∫x2ex dx=x2ex−2∫x⋅exdx con la nueva integral ya calculada en el ejemplo

1. Tomando las mismas funciones ∫x⋅exdx=x⋅ex−∫ex dx=x⋅ex−ex, y podemos sustituir el valor de esta integral para obtener: ∫x2exdx=x2ex−2∫xexdx=x2e−2(xex−ex)+C=ex(x2−2x+2)+C Ejemplo ∫sin2x dx Esta integral puede calcularse de varias maneras (¡No es una integral inmediata, falta la derivada!).

Para realizar esta integral por partes, tomaremos u=sinxdv=sinx dxdu=cosx⋅dxv=∫sinx dx=−cosx

Así, nos queda: ∫sin2x dx=−sinxcosx−∫cos2x dx=−sinx⋅cosx+∫cos2x dx=−sinxcosx+∫1−sin2x dx=−sinxcosx+x−∫sin2x dx

Donde hemos usado que cos2x=1−sin2x.

Así pues, volvemos a tener la misma integral que inicialmente. sin2xdx=−sinxcosx+x−∫sin2x dx Si aislamos∫sin2x dx

tenemos: 2∫sin2x dx=−sinxcosx+x⇒∫sin2x dx=−12sinxcosx+x2+C

Ejemplo ∫arctanx dx Esta integral puede parecer difícil, pero podemos tomar u=arctg(x) y dv=1 (a menudo es muy útil el hecho de tomar dv=1). Tenemos entonces: u=arctanxdv=1 dxdu=11+x2dxv=x y así: ∫arctanc dx=xarctanx−∫x1+x2 dx=xarctanx−12ln|1+x2| donde ∫x1+x2 dx es una integral casi inmediata

Tenemos que derivar u e integrar v', por lo que será conveniente que la integral de v' sea inmediata.
Las funciones polinómicas, logarítmicas y arcotangente se eligen como u.
Las funciones exponenciales y trígonométricas del tipo seno y coseno, se eligen como v'.

LA REGLA ALPES.

¿En qué consiste esta regla? Primero descubramos qué significado tienen cada una de las letras de esta alpina palabra:

A: funciones Arco (arco seno, arco coseno, arco tangente)
L: Logaritmos
P: Potencias (de exponente numérico)
E: Exponenciales
S: Seno y coseno

Bien, ¿cómo usamos todo esto? Muy sencillo:

Convendrá utilizar el método de integración por partes cuando tengamos enfrente una integral de una función arco solamente, un logaritmo solamente o un producto de dos funciones que pertenezcan a dos de esos cinco tipos.
En el primero caso, sólo una función arco, llamaremos a esa función arco y al resto ( en este caso); en el segundo caso, sólo un logaritmo, llamaremos al logaritmo y al resto (también ); y en el tercer caso, el más interesante, el del producto, llamaremos a la función cuyo tipo aparezca primero en ALPES y al resto (que ahora será la otra función por ).

Por ejemplo, la integral

es un producto de , que pertenece a P, y , que entra en L. Como en ALPES la L aparece antes que la P, la asignación será:

A partir de ellos calcularemos (derivando lo que hemos llamado) y (integrando lo que hemos llamado ), y aplicaremos la fórmula base del método (sí, la de la vaca, el soldadito o el uranio). Se entiende que la integral que nos quedará por resolver será sencilla. Generalmente será inmediata o susceptible de aplicarle de nuevo integración por partes.

En inglés, este método se denomina LIATE